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博弈论习题_图文

时间:2017-07-21 23:33来源:网络整理 作者:采集侠 点击:

  



博弈的应用 与习题

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

Use game theory to shape strategy

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

21面旗
?记(x,y)为拿旗的状态和结果,其中 x为当前地面的旗的数量,y为双方都按 照最优方式,当前拿旗的胜负状况(W or L)
21W 20L 19W 18W … 16L 8L 5W 4L 3W

——

6W 7W

2W 1W

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

21面旗
A,M,N

A, player’s label M, Number of flags N, Outcomes of this situation

B3W B2W
A21W B20L B19W … B8L A5W B4L B5W B4L B3W A3W

——
A6W
A7W

A2W A1W

B18W

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

囚徒困境的扩展
?生活中的若干“囚徒困境问题”
?公共地悲剧

——

?“劣币驱逐良币”
?勤奋与偷懒

?Duopoly
?热费问题 ?The tragedy of the commons…

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

囚徒困境的扩展分析
?囚徒困境问题引发了相当多学者的关注
?Economists, psychologists, sociologists, biologists

——

?对囚徒困境问题的另一个相关著名事件 就是有关的试验分析方法。

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

囚徒困境的实验
?试验往往考虑重复进行(多轮囚徒博弈)
?对手保持不变(亦可随机匹配对手)
?某文献提供的一个证据:50%~94%选择坦 白;在倒数10~20轮中,78%选择了坦白; 允许双方交流情况下,坦白策略出现的频 率变小(29%~70%)

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

Robert Axelrod 的著名实验
? 进行多轮囚徒博弈(重复博弈),采用巡回赛方 式
? 事先让参赛者给出预定策略 ? 累计最终得分 ? 第一次参赛有15种战略(来自经济学、心理 学、社会学、政治学和数学领域学者),还 有一个随机决定“坦白”、“不坦白”的随 机战略 ? 结果一个叫“tit for tat”的策略获胜

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

Robert Axelrod 的著名实验
? “tit for tat”的含义:以合作开始,然后“克隆” 对方上一步的策略。
? Axelrod公布了这个结果,并进行了第二次巡 回赛
? 来自6个国家63个程序参赛

——

? Tit or tat 再次获胜

? 阿氏研究发表在《科学》上,并获得了年度 大奖(名称待查)

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

古诺模型
?这里考虑连续形式的古诺模型
?两个企业,分别表示为企业1、企业2 ?每个企业的策略是选择产量(用qi表示), 支付是利润(用πi表示),它是两个企业产 量的函数,生产成本与产量有关,用Ci(qi) 表示,市场出清价格为P=P(q1+q2) ?第i个企业的利润函数为: πi=qi P(q1+q2) – Ci (qi), i=1, 2

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

古诺模型
? (q1*, q2*)是均衡产量意味着:
q1*∈argmaxπ1(q1, q2*) q2*∈argmaxπ2(q1*, q2) ? 根据上面两个式子可以得出反应函数(reaction function): q1*=R1(q2) q2*=R2(q1) ? 两个反应函数的交叉点就是纳什均衡(q1*, q2*), 见图1-9

——

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古诺模型
?实际验证
?假定每个企业具有相同的不变单位成本, 即C1(q1)=q1c, C2(q2)=q2c, ?价格出清函数取线性形式: P=a-(q1+q2)。 根据
q1*∈argmaxπ1(q1, q2*) = q1P(q1+q2*) – C1(q1)
q2*∈argmaxπ2(q1*, q2) = q2P(q1*+q2) – C2(q2) 通过求一阶导数,得

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

古诺模型
?? 1 ? a ? (q1 ? q2 ) ? q1 ? c ? 0 ?q1 ?? 2 ? a ? (q1 ? q2 ) ? q2 ? c ? 0 ?q2

——

?于是可得到反应函数为:
1 ( a ? q2 ? c ) 2 1 * q2 ? R2 ( q1 ) ? ( a ? q1 ? c ) 2
* q1 ? R1 ( q2 ) ?

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

古诺模型
1 q1 ? q ? (a ? c) 3
* * 2

——

?从而求出
1 ( a ? q2 ? c ) 2 1 * q2 ? R2 ( q1 ) ? ( a ? q1 ? c ) 2
* q1 ? R1 ( q2 ) ?

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

古诺模型
1 q1 ? q ? (a ? c) 3
* * 2

——

?进而可以得出每个企业的纳什均衡产量下 的利润,为
1 ? 1 ? ? ? (a ? c) 2 9
* * 2

?可以同垄断企业的最优决策类比

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

古诺模型
?垄断条件下的最优产量,可同过计算 Q*∈argmaxπ=Q*(a-Q*-c)
求出最优的产量值

——

1 2 * * Q* ? (a ? c) ? q1 ? q2 ? (a ? c) 2 3
?垄断条件下的最优利润为

最优纳什 均衡总产 量

1 2 2 ? ? (a ? c) ? (a ? c) 2 4 9
m

最优纳什 均衡利润 总和

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

古诺模型
?古诺模型的启示
?寡头竞争的总产量大于垄断竞争产量的原 因在于每个企业在选择自己的最优产量时, 只考虑对本企业利润的影响,而忽视对另 一个企业的外部负效应。这是一个典型的 囚徒困境 ?从另一个层面我们也了解到为什么国外有 反垄断法,为什么有微软分拆事件。

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

古诺均衡:动态过程

q2

R1 NE R2 q1 图1-9 古诺模型的纳什均衡

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

豪太林(Hotelling)价格竞争模 型
? 古诺模型中,产品是同质的(homogenous);
? 豪泰林模型中,引入了产品的差异性;
? 产品的差异性可以有很多体现形式:如品牌、外 观、功能、空间差别(如房地产) ? 豪泰林模型中,产品的差异通过空间差别来体现

——

? 豪泰林模型的主要假设是产品的差异完全是由空 间位置的不同而造成的

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

豪太林(Hotelling)价格竞争模 型
? 模型描述
? 假定有一个长度为1的线性城市,消费者均匀地分 布在[0,1]区间上。假定有两个商店,分别位于城市 的两端,商店1在x=0处,商店2在x=1处,出售完 全相同的产品 ? 每个商店提供单位产品的成本为c,消费者购买商 品的旅行成本与离商店的距离成正比,单位距离 的成本为t ? 假定消费者有单位需求:要么消费1单位,要么消 费0个单位(如住房消费)。消费者从消费中得到 的消费者剩余为s。

——

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豪太林(Hotelling)价格竞争模 型
?纳什均衡分析
?假定两个商店同时选择自己的销售价格。 假定消费者剩余s相对于购买总成本(价格 加旅行费用)足够大从而所有消费者都购 买一个单位的产品

——

?令pi为商店i的价格,Di ( p1, p2)为需求函数, i=1, 2

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

豪太林(Hotelling)价格竞争模 型
?如果住在x的消费者在两个商店之间是无差 异的,那么,所有住在x左边的将都在商店 1购买,而住在x右边的将在商店2购买,需 求比例分别是
D1=x, D2=1-x。 这里的x满足: p1+tx=p2+t(1-x) ?解上面两个式子,可得出需求函数为

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

豪太林(Hotelling)价格竞争模 型
p2 ? p1 ? t D1 ( p1 , p2 ) ? x ? 2t p1 ? p2 ? t D2 ( p1 , p2 ) ? 1 ? x ? 2t

——

?利润函数分别为
1 ? 1 ( p1 , p2 ) ? ( p1 ? c) D1 ( p1 , p2 ) ? ( p1 ? c)( p2 ? p1 ? t ) 2t 1 ? 2 ( p1 , p2 ) ? ( p2 ? c) D2 ( p1 , p2 ) ? ( p2 ? c)( p1 ? p2 ? t ) 2t

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

豪太林(Hotelling)价格竞争模 型
?通过一阶导数法,可以求出两个企业的最 优价格,为
* p1 ? p* ? c ?t 2

——

?均衡价格下,每个企业的最优利润为
?* ??* ?
1 2

t 2

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

豪太林(Hotelling)价格竞争模 型
? 可以进一步设想,若两个商店为了争夺顾客源, 可以自由选择商店位置,那么可以计算,纳什 均衡位置在[0,1]区间的中点0.5处,即最终两个 商店汇聚一点;
? 这在一定程度上可以说明,为什么商店通常都 聚集在一处的原因。这个现象还有其他原因吗?

——

? 此时可以算出均衡价格和利润分别是

p1 ? p2 ? c, ?1 ? ? 2 ? 0

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

公共地悲剧 (The tragedy of the commons)
? 问题描述
? 源自哈代的著名论文The tragedy of the commons

——

? 模拟1
? 考虑一个有n个农民的村庄共同拥有一片草地,每个农 民都有在草地上放牧的自由。每年春天,每个农民要 决定自己养多少只羊。用gi ∈ [0,∞)代表第i个农民饲养 的数量,i =1, … ,n,G=∑gi表示n个农民饲养的总数量, v代表每只羊的平均价值。
? 一个重要的假设是v是G的函数,v=v (G)。因为每只羊 至少要一定数量的草才不至于饿死,因此有一个最大 的存活量Gmax,即

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

公共地悲剧 (The tragedy of the commons)
?当G < Gmax时,v(G) > 0; 当G ≥ Gmax时,v(G)=0。

?当草地上的羊很少时,增加一只羊也许不 会对其他羊的价值有太大的不利影响,但 随着饲养量的不断增加,每只羊的价值会 急剧下降,因此假定:

——

?v ? 2v ? 0, ?0 2 ?G ?G

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

公共地悲剧 (The tragedy of the commons)
? 可用图1-10描 述这个特征
v

——

?v ? 2v ? 0, 2 ? 0 ?G ?G
Gmax G 图1-10 每只羊的价值随饲 养总量的增加而下降曲线

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

公共地悲剧 (The tragedy of the commons)
?均衡分析
?在该博弈中,每个农民的问题是选择gi 以最大化自己的利润。假定购买一只羊 羔的价格为c,那么利润函数为

——

? i ( g1,...,gi ,...,gn ) ? gi v (? g j ) ? gic, i ? 1,2,...,n

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公共地悲剧 (The tragedy of the commons)
?最优化一阶条件为
?? i ? v(G) ? gi v' (G) ? c ? 0, i ? 1,2,...n ?gi

——

?该式表明,对于每个农民来说,增加一 只羊有正负两方面效用效用… ?将上面n个式子相加,在同时除以n,得
1 v(G ) ? Gv ' (G ) ? c ? 0 n

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公共地悲剧 (The tragedy of the commons)
? 整个社会的最优化饲养量,用G*表示,为

max G * v (G*) ? G * c
G*

——

?一阶最优化条件为

v(G* ) ? G*v ' (G* ) ? c ? 0
?将上面n个式子相加,在同时除以n,得
1 v(G ) ? Gv ' (G ) ? c ? 0 n

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

公共地悲剧 (The tragedy of the commons)
v(G* ) ? G*v ' (G* ) ? c ? 0
1 v(G ) ? Gv ' (G ) ? c ? 0 n

——

?比较上面两个式子,可推出G>G*.
[反证法] 假设G ≤ G*,那么由于 v ’<0,因此 v(G) ≥ v (G*)。类似的,由于v’’<0, 又可推出 v’(G) ≥ v ’(G*) 。 另外,从G ≤ G*还可推出G/n < G*。 于是上面第一式子左端严格小于第二式左端。但这是 不可能的,因为两个式子均等于0。因此必有G > G*

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社会困境
?心理学家把囚徒困境的多人博弈称为社会 困境。
?Kant(有史以来最伟大的哲学家)认为, 做那种 人人都做结果就不好的事情 是不理 性的 ?其名言: 按照你将成为宇宙法则的准则行 为去行Act only on the maxim that you would will to be a universal law。 ?我们看看泰坦尼克号的灾害

——

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社会困境

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

社会困境
?究竟是遵循宇宙法则,还是做一个现实 的优化策略,这是一个问题
?To be or not to be, that is the question…

——

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公共地悲剧-具体化
?问题描述:10个家庭在1平方英里的公 共草地放牧,1只羊每天的产奶量b取决 于吃到的草a的数量。函数关系为
? b = exp(1 – 1/(10a)) ?可以很容易看到,当a =1/10时候,b =1 ?函数关系的图像是

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

——

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公共地悲剧-具体化
?从整个社会利益最大化角度考虑,确定 最优的放牧数量,为求如下的函数的最 大值(a = 1/N)
?M = Nb = N *exp(1 – N/10) ?N = 10 时,达到最大值,每天生产10单 位羊奶,如果该区域只有10户,则每户 1只羊,每家产奶1单位

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

公共地悲剧-具体化
?如果该命令不是强制的,每个家庭按照利 益最大化的想法,选择自家的羊的数量g, 生产羊奶的函数是 ?m = gb = g exp(1 – (g +G)/10) =http://www.bolearn.com/read/
?exp(-G/10) g exp(1 –g/10)

——

?注意第一项是常数,最大化收益的结果是g =10,即每户羊10只。
?于是整个社区最终放牧的数量是100只。。。

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

公共地悲剧-具体化

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

机制设计
?博弈规则,可以称为一个机制
?研究博弈能否被构造成理性的人会采取 有益于社会的行为的机制设计,是博弈 论的一个分支。 ?通过实施精心设计的激励和约束机制, 引导相关方的决策符合社会的利益,从 而采用博弈论的基本原理,设计社会福 利优化的博弈环境。

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

机制设计
?设计最优的激励和约束机制通常很难,结 合公共地悲剧问题
?颁发一家庭只允许养1只羊的许可

——

??但管理层如何知道10张许可是社会最优的数 目呢

?当博弈论专家无法实现最优结果时,寻求 次优解 ?在思考最优选择之前,先确定哪些选择是 可行的,确定那些行得通的方案集合

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

机制设计
?1990年,美国国会1990年通过了一个确 保“国家医疗照顾制”的购买药物实际 价格,不会比私人医疗机构更高的法案 。
?该法案的基本条款要求卖给国家医疗照 顾制的药物价格不超过平均售价的88% 。结果是,药厂商宁可放弃或损害了零 售市场(暗自提高售价)…

——

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

课堂讨论
?两个厂商,提供某种商品,成本为c,需要 确定均衡价格(p1,p2),市场状况如下
?若低于成本,皆亏损 ?否则,市场价格P = min{p1,p2} ?特别的,若p1=p2,市场份额在二人之间平分

——

?市场的需求量与市场价格呈线性减函数关系 Q = a – P, a>0

?分析该博弈的纳什均衡

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

博弈论在实际中应用的 一般分析框架
?描述实际问题问题
?问题本身的描述(文字、图表为主)

——

?用数学模型描述
?描述合理 ?易于处理

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

博弈论在实际中应用的 一般分析框架
?选择合适博弈模型
?完全信息静态博弈

——

?完全信息动态博弈
?合作博弈

?等等

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

博弈论在实际中应用的 一般分析框架
?描述博弈基本要素,如
?参与人

——

?参与人策略集
?各参与人的效用函数

?等等

博 弈 论 讲 义 完 全 信 息 静 态 博 弈

博弈论在实际中应用的 一般分析框架
?博弈的均衡分析
?纳什均衡分析(纳什均衡与博弈结果的预 测) ?一些相关分析(数学的、经济的、业内的) ?分析结果的“翻译”

——

?结论







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