数学要分纯数学与应用数学。

从宏观方面说，纯数学是一种宏大的语言结构与体系。

从方法论上说，纯数学不是科学，是神学。他不需要事实验证，那是物理学与天文学的事。它需要单纯的兴趣与长久的毅力。你在纯粹不断的探究过程中能感受到那摄人心魄的伟大力量，那冰冷的美丽下的火热的思考。这正是苦心孤诣，孜孜以求，不论其致用而专为其纯真思想的而达无我之境的最佳途径之一。

而应用数学的魅力在于向你展示那源于抽象顶峰的普适原理与来自丰富生活的具体现实的每秒结合以及使这两者结合的高超方法与技巧。这一结合正是极高明而道中庸的回归的最好体现。它需要学以致用的热情与有限理性的谦虚。要有将艰深的学问结合到现实中的理想，也要注意现实中的问题对纯粹理性的冲击与限制。

数学与社会科学的结合是天然的，特别是经济学（均衡分析、比较静态与动态分析、随机分析）和微观金融学（随机环境下的资产定价与公司财务）。尽管经济学和金融学的直感（诸如看不见的手和无套利假设）在研究与学习中是首要的，最具启发性的，但这只是远方朦胧不定的导航光的，要使得研究与学习深入下去，必须按照逻辑的指南针，步步为营的开辟航道。这种直觉无法触及的深处，必须要依靠数学工具，如矩阵、线性方程，微分方程，概率，随机过程。这些所需要的数学是必须的，是实用的，也是高深的。应用数学方法可以为经济金融建模，模型的求解过程所引发的数学问题恰恰需要回归纯粹数学来解决。数学发展从来就不是单纯靠内力所引发，几何的起源丈量土地和算术的起源结绳记事，正是人类生产与分配所引发的。但纯粹的数学也有其内在矛盾推动的发展动力，与应用要求相对独立：纳什（Nash）与伊藤（Ito）都是真正数学大师，而他们的研究——Nash原理与Ito定理分别在经济学的博弈论与金融学的资产定价方面有极其深远应用与影响，但他们起初都不是为了应用而是凭着兴趣进行他们的数学研究,而后来都获得了经济金融学界的殊荣。总之，数学的应用需要纯粹数学的发展做支撑，而纯粹数学的发展也有赖于数学在实际应用方面所引发的困境的设计解决。