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完全信息静态博弈的定义是什么?

时间:2018-02-19 23:08来源:网络整理 作者:采集侠 点击:

  

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博弈最基本的两个问题是:如何描述一个博弈问题以及如何求得博弈问题的解。通常,博弈的标准式表述包括三个部分:1)博弈的参与者;2)每一参与者可供选择的战略集;3)针对所有参与者可能选择的战略组合,每一参与者获得的收益。

定义博弈问题如下:在一个n个人博弈的标准式表述中,参与者的战略空间为S1, ... , Sn,收益函数为u1, ..., un,我们用G={S1,...,Sn; u1,...,un}表示此博弈。

那么,下面我们将解决第二个问题,如何求得博弈问题的解。在一个完全信息博弈中,参与者的收益函数是共同知识,通常可用n维矩阵来表示每一战略组合对应的收益值。累次严优方法的思想是,假定每一个参与者都是理性的,如果战略集中有两个战略选择,并且其中一个战略对于其它参与者的任一战略组合所对应的收益值都优于另一战略的,那么该参与者会将后一战略(称为严格劣战略)从战略集剔除,从而缩小战略集空间。这样经过反复地剔除后直到不能再剔除为止,此时得到的剩下的战略组合为该方法求得的解。如果此时只剩下一个战略组合,那么就得到了唯一的博弈解。
然而,用累次严优的方法存在一个问题:即,经过反复剔除后,战略组合解可能不止有一个,甚至战略组合仍然保持不变(此时没有一个战略被剔除),那么这样对预测结果毫无帮助。

从上面可以看出,用重复剔除严格劣战略方法求解的战略组合解不是让人很满意,因此需要另外一种解为人们预测提供指导——纳什均衡。

定义纳什均衡如下:在n个参与者标准式博弈G={S1,...,Sn; u1,...,un}中,如果战略组合满足{s1*, ..., sn*}满足对每一参与者i,si*是(至少不劣于)他针对其他n-1个参与者所选战略{s1*, ..., s(i-1)*, s(i+1)*, ..., sn*}的最优反应战略,则称战略组合{s1*, ..., sn*}是该博弈的一个纳什均衡。

纳什均衡比重复剔除严格劣战略的解更严格,同时纳什均衡不会被后者剔除,而后者的解不一定纳什均衡战略的条件。纳什均衡的意义在于,每一参与者要选择的战略必须是针对其他参与者选择战略的最优反应,从而没有参与者愿意独自离弃他所选定的战略。如果博弈论提供的战略组合解不是纳什均衡,那么至少有一个参与者有动因偏离理论的推测,使得博弈真实进行和理论预测不一致。纳什(1950)证明了在任何有限博弈(即参与者n和战略集S1, ..., Sn都是有限的博弈)中,都存在至少一个纳什均衡。
但是,纳什均衡有时对预测帮助也不是很大,这种情况出现在如果该博弈存在多个纳什均衡并且它们又难分优劣,那么此时参与者间就不能就该博弈的进行达成协议。

在现实中,有种博弈为猜谜博弈。它的突出的特点是每个参与者都试图先猜中对方的战略,从而赢得胜利。这样就不存在上述定义所描述的纳什均衡,因为这时参与者的最优行为是不确定的,而博弈结果必然要包含这种不确定性。因此需要将纳什均衡的定义进行扩展。

定义参与者i的一个混合战略是在其战略空间Si中(一些式全部)战略的概率分布,并且概率和为1。Si中的每个单一战略称为纯战略。

实际上可以将纯战略看作混合战略的特殊形式,从而扩展后的定义完全包括了前一定义。那么如何求得混合战略的纳什均衡呢?

在两个参与者标准式博弈G={S1, S2; u1, u2}中,混合战略(P1*, P2*)是纳什均衡的充要条件为:每一参与者的混合战略是另一参与者混合战略的最优反应。即,使期望收益最大:v1(P1*, P2*) >= v1(P1, P2*) && v2(P1*, P2*) >= v2(P1*, P2)

从上面的定义可以看出,纳什均衡的解是各个参与者基于其它参与者战略的最优反应,因此求纳什均衡解需要将各个参与者的目标函数(期望收益)联立起来,并求它们的最优解。因此,有结论:在任何博弈中,一个纳什均衡(包括纯战略和混合战略均衡)都表现为参与者间最优反应对应的一个交点。当只有两个参与者时,可以用图示法来求解。






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