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撒币游戏 | 一次有趣的博弈论实践

时间:2018-01-30 06:41来源:网络整理 作者:采集侠 点击:

  

最近,借着生日的契机,在 我的公众号 里进行了一次「撒币」游戏。原本是在微观经济学课上玩过一个类似的游戏,突然奇想就亲自组织了一次。让我们回顾一下这次游戏里有哪些有趣的事情吧。

01.游戏规则

本次撒币游戏的规则如下:在本号后台回复1-100的一个整数即可参与,活动结束后,回复没有与其他人重复的最大数字的同学即为本次的赢家,可以获得价格等于该数字的红包或礼物。

从规则中可以看出玩家的 报酬 情况是,获胜玩家的报酬等于其选择的数字,其余玩家报酬为0。当然,存在一种特殊情况是,如果所有数字均有重复,则无人获得奖金,庄家是唯一赢家。为了分析方便,我们认为此时所有人的报酬是负数,即所有人都会厌恶从而避免这种情况。

02.条件分析

从游戏的规则设定中,我们可以知道什么呢?

虽然所有人做出决策的时刻不同,但由于截止时间前每个人的决策结果对其他人是不可见的,所以游戏的过程可以视为一次 静态博弈

每个人的预期报酬是由自己所选的数字决定的,报酬的定价机制会激励玩家选更大的数字。

结合游戏规则可以看出, 越少 的玩家参与,每个玩家获胜的几率都会越高,没有激励会使得玩家转发这次游戏,所以这次游戏是几乎没有二次 传播性 的(忧伤)。

果然,从推送的阅读量可以估计出游戏的 参与人数 基本是100以内(忧伤x2),可以断定绝大多数玩家都是庄家TT的一度联系人,由此可以推出玩家群体中应该存在多个互相熟悉的社交圈。再考虑到奖金的可分性,于是存在 合作 的可能性。

由于规则没有禁止玩家间的交流,每名玩家可以通过线上或线下的渠道发表任意的观点,玩家间的 交流 是可能的。

03.策略设计 一、不合作下的情况

首先定义一下 纳什均衡 (Nash Equilibrium)的概念。对于一个博弈问题,如果固定其他所有人的策略,任一参与者不能通过改变自身的策略获得更好的报酬,就达到了一个纳什均衡。通俗地说就是,谁先动谁就输了。具体可以参见 维基 或 百度 。

如果从“理性人”的假设出发,显然所有玩家决策的策略应该是一样的。如果每名玩家的策略是选择一个确定的数字,则所有玩家都会选择一样的数字,此时任意一名玩家选择另外一个数字,TA就成为了唯一的赢家(假设玩家数≥3),所以容易推出确定策略的均衡是不存在的(即不存在 纯策略 纳什均衡)。于是考虑混合策略。 混合策略 的决策是定义在策略集上的一个概率分布,比如以50%概率选100,50%概率选99。

由于玩家数量不确定,我们按照玩家数量从少到多逐步分析。

如果只有2名玩家,容易知道在没有合作的情况下,每人的最优方案都是选100,是存在纯策略纳什均衡的。当玩家数≥3后,如上所述,纯策略的均衡就不存在了。

如果有3名玩家,情况复杂一些。尝试证明了一下,混合策略下的纳什均衡解是分布在1-100上的一个概率分布,每一个数字都有可能被选中,并且选择更大的数字概率更高(过程见附录)。

于是显然,当玩家数更多的时候, 混合策略下的纳什均衡解同样也是1-100上的一个概率分布,选择大数的概率更高

不合作的情况下,能分析的内容到这里似乎就结束了。我猜多数人看到这里的想法是:这有什么用?(当然我没法验证这个想法。)这就反映了推理本身的出发点「理性人」的假设是不对的,在现实中,除了学习或者研究外,几乎没有人是具有能力并且愿意进行无限推理的。 理性是有限的 ,才是更现实的情况。

二、允许合作下的情况

考虑如下的情况,有一名玩家A通过某种渠道告知游戏中其他所有玩家:我选了100。这时其他所有玩家会怎么做呢?如果选择100,自己就和A一起输掉了,这时候其他玩家就有机会获胜了;而如果所有人都不选择100,则A如果真的选择了100,就获胜了。那么是否会有人选择100呢?如果假设所有人是理性且自私的,在没有合作的情况下,是不会有人选择100的。

为了不让A获胜,该怎么办呢?于是 合作和联盟 出现了。B和C是室友,在商议之后决定,B选择100,C选择99,如果C获奖的话,BC平分奖金。通过这种策略,BC的联盟成功击败了A这种看似必胜的策略,并且任一单独的玩家是不可能战胜BC的联盟的。 合作博弈下,联盟通过降低联盟外玩家的胜率,提高了自己内部的胜率。 那么如果战胜BC的联盟呢?更大的联盟。DEF三人的联盟选择了98,99和100,BC联盟就失败了。

推广下去,更大的联盟就意味着更高的赢面。当玩家数不超过100时, 必胜的方案是组织起一半的玩家,从大到小依次选择100, 99, 98… 这时联盟外的玩家是不可能获胜的,联盟平分了奖金。当然,游戏的奖金金额能否激励大家去组织这样的事情,就是另外一个问题了,唉,穷。

04.结果统计

最终有 50 名有效的玩家参与了这次游戏,其中数据的茎叶图如下。最终获胜的是选择98数字的同学。

05.结果分析

从最后的数据中,我们可以看到些什么呢?

有8名玩家选择了50以下的数字。由于奖励是与选择的数字挂钩的,无论从何种角度来看,这都不像理性人所作出的决策。为什么会出现这批玩家呢?我猜测是这样的金额不足以引起他们的兴趣,皮这一下的快乐远胜过金钱,所以…欢迎土豪们!

有20名玩家选择了50-89。由于没有实际采访过这些玩家,所以无法断定他们的动机。我的猜测是他们对整个游戏的 玩家规模 有着错误,具体来说是,过于乐观的估计,所以保守选择了偏小的数字,尤其是70-89的玩家。

剩下的22名玩家分布在91-100的区间内。这部分竞争颇为激烈,根据我在后台的观察,如果按照时间顺序列出获奖数字的话,是 94-99-100-96-97-98 ,胜与负就在一念之间,激进的人群里偏保守的玩家笑到了最后。






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